磁单极子简介

抽象的

磁性最基本的特性之一是磁铁总是有南北两极,不能分成孤立的两极,即磁单极。关于为什么应该存在磁单极子存在强有力的理论论据,但尽管进行了广泛的搜索,但从未发现过它们。本文介绍了磁单极子的理论和实验方面,并讨论了它们在我们理解历史和今天的基础物理学中的作用。

1. 磁单极子的历史

磁性有很长的历史,而且在大部分时间里,它被视为神秘的东西。即使在今天,我们仍然没有完全理解磁铁的一个非常基本的特性,我们在学校很早就学到了这一点:为什么磁铁总是有南北两极?或者,换句话说,为什么磁力线不能结束?电场线以电荷结束,但似乎没有磁荷。本文的目的是简要总结磁荷或磁单极子的物理学,以及它们可能存在的原因。

最早对磁性的描述归功于希腊北部米利都的泰勒斯,他报告说来自氧化镁的岩石(磁铁矿的天然磁性形式,称为磁石)具有奇怪的特性。他还指出,琥珀在摩擦后会吸引羽毛或头发等轻物体,这现在被理解为静电效应。以类似的方式,磁石可以吸引铁,但不能吸引其他材料,甚至其他金属。更神秘的是,当悬挂在一根绳子上时,一块磁石总是以相同的方式定位。与琥珀不同,磁石不需要摩擦或任何其他准备来获得这些特性,但是当铁针与磁石摩擦时,这些特性就会转移到它身上。

磁石在其他地方也有名,例如在中国。虽然希腊人认为岩石会被它们开采的地方吸引,但中国人注意到一块磁石实际上总是指向北方或南方。在上个千年之初,他们已经知道如何以指南针的形式使用这种效果作为导航工具,到 1187 年,这项发明已经进入欧洲。

直到 1269 年,Maricourt 的 Petrus Peregrinus 写了一封名为Epistola de Magnete的信,其中描述了他在磁铁上进行的实验以及他从这些实验中得出的结论,试图解释和理解这些磁铁的力量都是基于纯粹的哲学推测。他证明了磁铁有两个相反的极(并引入了术语“polus”来描述它们),并且当磁铁被切成两半时,每个磁铁仍然有两个相反的极。他发现两个相似的极点相互排斥,但他未能将指南针的南北方向归因于地球的磁性。相反,他接受了普遍的观点,即这是由于它对天极的吸引力。

又过了三个世纪才取得进一步进展。曾经假设无论什么力使罗盘指针转向北,它都会在水平方向上起作用,但在 1576 年罗伯特·诺曼发现,实际上罗盘指针倾向于向下倾斜。起初他认为他只是没有正确平衡他的针,但进一步的实验证实了他的发现。完美平衡的针在被磁化后会向下转动。这是一个明确的暗示,即导致针头方向的力是由于地球而不是天空,尽管诺曼未能从他的发现中得出这个结论。更重要的是,对于我们的目的,他发现实际上根本没有整体吸引力,只是方向发生了变化。

在此之后不久,威廉·吉尔伯特 (William Gilbert) 在 1600 年出版了一本名为De Magnete 的书,其中他试图根据仔细和系统的实验构建第一个一致的磁学理论。特别是,他是第一个知道罗盘指针的方向是由地球的磁力引起的。这本书被认为是磁学研究的开端。

在接下来的几个世纪里,人们发现了磁性及其与电的联系的许多方面,描述它的理论变得更加具体和定量。尽管如此,人们普遍认为磁性是由两种带相反电荷的磁性流体引起的,它们由磁性分子或我们称之为磁单极子组成。这个想法一直持续到 19 世纪,直到安德烈-玛丽安培证明磁场是由电流产生的,最终迈克尔法拉第证明磁性流体不存在。

基于法拉第的发现和对电场和磁场的物理直觉,詹姆斯·克拉克·麦克斯韦发展了他的电动力学理论,并于 1864 年发表 [5]。这一理论是物理学上的一个重大突破,因为它不仅将磁和电统一在一个简单的理论中,而且还解释了光的特性,它表明光是一种穿越空间的电磁波。此外,该理论表明光速必须是恒定的,因此为相对论铺平了道路。

在他的理论中,麦克斯韦假设不存在磁荷,但该理论没有解释原因,也没有禁止它们。有时讨论磁荷是为了说明物理学的某些方面或作为一种方便的数学工具,但它们不被认为是真实的物理对象。一个例外是皮埃尔·居里,他在 1894 年推测了自由磁荷的可能性。

当量子力学在二十世纪初发展起来时,它首先似乎禁止孤立的磁荷。然而,1931 年保罗狄拉克表明,事实上,量子力学允许某些量子化的磁荷 [7]。此外,磁荷的存在可以解释所观察到的电荷量子化,这在此之前一直是个谜。最后,在 1974 年,Gerard 't Hooft 和 Alexander Polyakov 表明,许多粒子物理模型 [8.9] 预测了磁单极子,特别是所有大统一理论 (GUT),这些理论旨在描述电磁相互作用和弱和单一统一理论的强核力。同样的结论也普遍适用于更现代的“万物理论”(TOE),例如超弦理论。

因此,从理论的角度来看,我们预计会存在磁单极子。找到一个对高能物理学来说将是一个令人难以置信的突破。它们的特性来自非常高能量的物理定律,这是任何粒子加速器实验都无法实现的。它们绝对稳定,因此不会衰变为其他粒子,这与物理学家希望找到的大多数其他粒子不同,并且它们通过电磁场相互作用相对强烈,这意味着它们很容易通过实验进行研究。因此,他们的发现将使物理学家能够设计实验来直接测试 GUT 和 TOE。不幸的是,到目前为止,所有寻找它们的尝试都失败了。

本文的目的是简要介绍磁单极子的物理学。

2. 单极子解决方案

2.1. 经典电动力学中的单极子

四个麦克斯韦方程组优雅地描述了经典电动力学。在没有任何电荷和磁荷的情况下,他们读到,

其中E和B分别是代表电场和磁场的向量。在这些方程中,符号 ∇ · 被称为向量场的散度,∇× 被称为旋度。如果用场线表示电场和磁场,非零散度将表明场线结束,而卷曲描述了它们的曲率。因此,方程 (1) 和 (3) 表明电场线和磁场线都没有起点或终点,换句话说,它们是闭合的。等式 (2) 和 (4) 表明随时间变化的磁场会产生电场,反之亦然。

这些方程具有美丽的对称性,称为电磁二元性:如果我们将电场和磁场替换为

方程保持不变。这意味着电场和磁场本身的行为方式完全相同。

当然,电荷是存在的,电场线可以在电荷处开始和结束。更准确地说,电荷q周围的电场具有形式

在电磁场中以速度运动的电荷会受到洛伦兹力

对偶性(5)表明,如果存在磁荷,则磁荷g周围的磁场将是方程(6)的对偶,

磁荷会受到力

然而,因为没有发现磁荷,所以对偶对称性似乎被打破了。这意味着,实际上,电和磁之间的本质区别在于电荷存在而磁荷不存在。

这就提出了一个问题,为什么自然界有这种不对称性。从经典电动力学的角度来看,没有理由不存在磁荷,如果存在,二元对称性将完好无损。换句话说,经典电动力学与磁单极子的概念完全兼容,从美学的角度来看,磁单极子似乎不存在很奇怪,因为它们的存在会使理论更加对称。

2.2. 量子理论中的单极子

在量子理论中,关于磁单极子可能存在的问题变得更加复杂,但也更加有趣。这是因为,事实证明,在量子力学中,电磁力在标量和向量电势的方面来描述φ和甲[17],而不是电场和磁场Ë和乙。这些势在理论中表现为与位置相关的场,其变化通过以下关系产生电场和磁场

在经典电动力学中,这些势被广泛用作方便的计算工具,而标量势实际上就是我们在学校学到的熟悉的电势,但它们的使用是可选的,并且可以很好地进行计算电场和磁场也是如此。

通过等式 (10) 引入标量势和矢量势的方式不考虑E和B之间的对偶对称性。然而,势本身不是物理的、可观察的量,它们描述的物理与原始麦克斯韦方程 (1)-(4) 完全相同。事实上,有无数种不同的势能产生相同的电场和磁场,因为如果改变 φ 和A,它们保持不变

其中 λ 是任意函数。通过等式 (11) 从这些物理等效势配置中的一个变为另一个被称为规范变换,并且因为物理量在这种规范变换下不会改变,我们说该理论具有规范对称性。麦克斯韦方程组的规范对称性在数学上称为 U(1)。类似但更复杂的规范对称性在我们当前的粒子物理学理论中发挥着核心作用。它们被视为决定基本粒子相互作用性质的基本原理,我们将很快回到它们。

然而,电位 (10) 似乎禁止磁荷。这是因为矢量分析的基本结果之一是矢量场的旋度的散度始终消失,因此人们发现

因此,如果磁场通过方程(10)用矢量势来表示,那么它的磁力线永远不可能有端点。这似乎表明人们无法使用矢量势来描述磁单极子。

这种限制在量子力学中变得很重要。请记住,在量子力学中,粒子是根据其波函数 ψ 来描述的,这是一个复数。一般来说,粒子没有明确定义的位置,但在特定位置找到粒子的概率由波函数绝对值的平方,|ψ| 给出。2 . 波函数的复杂性质在干涉实验中变得明显。例如,在著名的双缝实验(参见图1),粒子可以行进的两个平行缝隙的通过,而最终的波函数ψ(X)其背后的屏幕上是波的线性叠加函数ψ 1 ( x) 和 ψ 2 ( x ) 分别对应两条路径,ψ( x ) = ψ 1 ( x ) + ψ 2 ( x )。在两个波函数复相位重合的地方,一个相长干涉,概率增加;在复相位相反的地方,两个波函数相互抵消,导致相消干涉,概率降低。

图 1. ( a ) 在双缝实验中,来自源 A 的带电粒子穿过两个缝 1 和 2 之一,并在它们后面的屏幕 B 上被检测到。波函数 ψ 1和 ψ 2根据它们的复杂相位发生干涉,在屏幕上产生由波峰和波谷组成的图案。( b ) 当一个带有磁通量的螺线管⊗(或狄拉克弦)放置在狭缝之间时,它会改变两个波函数 ψ 1和 ψ 2的相对复相位。这将干涉图移动了与通量 Φ 成正比的距离 Δ x。对于 Φ = 2π/ q,这个距离等于峰之间的距离,因此模式不变,狄拉克弦是不可观察的。

当人们在量子力学中描述带电粒子时,波函数 ψ 的复相位 θ 取决于矢量势A。更准确地说,当在空间中移动时,复杂相位的变化率由平行于运动的矢量势分量给出,可以表示为

这与规范对称性兼容,因为复相位和矢量势都不是直接可观察的量。事实上,规范变换 (11) 对应于通过位置相关的量改变复相位,

然而,波函数和矢量势之间的这种联系表明,人们需要使用矢量势而不是量子力学中的磁场。因为矢量势不能描述磁单极子,这是否意味着量子力学禁止磁荷的存在?

1931 年,Paul Dirac 证明它没有 [7]。首先,他能够找到描述磁单极子的矢量势。他这样做的方式与法拉第 110 年前为其实验构建的“磁单极子”基本相同 [18]:为了研究存在电流时磁单极子的运动,法拉第使用长磁铁在一个装满水银的容器,其中一个极在水面之下,另一个在水面之上。这样上极的行为本质上就像一个磁单极子。

更准确地说,让我们考虑一个细长的螺线管,即一个长而直的线圈。当电流流过螺线管时,它会在其内部产生磁场。由于场线无法结束,因此该场从螺线管末端向各个方向扩散。用磁通量 Φ 来描述这一点很有用,它是在横截面上积分的磁场,

因为磁力线不能结束,所以从螺线管末端出来的通量必须等于它内部的通量 Φ。

如果螺线管的长度远大于其宽度,则围绕螺线管末端的磁场形状看起来就像磁单极子的形状,其磁荷g等于磁通量,因此g  = Φ。沿着螺线管的长度,除了两端的单极场之外,磁场被限制在它内部。因为在这个系统中没有磁荷,我们可以毫不费力地写出它的矢量势。从数学上讲,我们可以想象首先将螺线管无限细长,使另一端点无限远,然后忘记螺线管本身,只保留矢量势,可以写为

这里

是指向螺线管方向的单位向量。该矢量势描述了一个磁单极子,该磁单极子连接到一条携带磁通量的无限细线(称为狄拉克弦)。因为在经典电动力学中,磁场只影响场内的粒子,如果狄拉克弦的厚度为零,则它是不可观察的,因此矢量势实际上描述了一个孤立的磁单极子。必须付出的代价是向量势沿狄拉克弦是奇异的。

然而,量子力学中的情况更为复杂。正如我们之前看到的,矢量势A会影响粒子波函数的复相位,因此即使粒子实际上并未接触狄拉克弦,狄拉克弦也会产生干涉效应。如果我们再次考虑双缝实验,并想象在两个缝之间放置一个狄拉克弦,对应于两个缝的波函数将获得不同的复相位因子,因为它们穿过不同的矢量势。这将根据磁通量向左或向右移动屏幕上的干涉图案 [17]。

计算粒子拾取的额外复杂相位 Δθ 相当容易。根据方程(13),它可以简单地通过对沿轨迹的矢量电势A进行积分并将其乘以粒子的电荷q 来给出。我们可以把它写成

其中X  = 1 或 2.具体取决于粒子穿过的狭缝。如果穿过不同狭缝的粒子拾取不同的复杂相位,则屏幕上的干涉图案只会受到狄拉克弦的影响。我们可以将这种差异写为

它表示沿闭合曲线C从 A 到 1 到 B 到 2 再到 A 的积分。 称为斯托克斯定理的矢量分析的一般结果表明,积分等于通过曲线C 所围区域的磁通量 Φ . 将此与上面观察到的通量等于单极子的磁荷g的观察相结合,我们找到关系

这表明两个狭缝之间的复相位差 Δθ 等于电荷q和磁电荷g的乘积。因此,具有非零磁荷g的任何磁单极子的狄拉克弦将在复相位中产生非零差。现在,重要的是要认识到复相位仅定义为模 2π。相位相差 2π 的整数倍的两个复数相等。因此,只有当相位差 Δθ 不是 2π 的整数倍时,才能观察到狄拉克弦。相反,如果电荷和磁荷q和g满足 [7]

那么狄拉克弦是不可观察的,带电粒子只能感受到单极子的磁场。这被称为狄拉克量化条件。

如果有几种不同类型的带电粒子,那么为了使狄拉克弦完全不可观测,每种粒子的电荷必须满足方程(20)。狄拉克意识到这只有在电荷被量子化时才有可能,这意味着任何粒子的电荷都是某个基本电荷的整数倍,它本身满足方程(20)。这是一个了不起的发现,因为电荷在本质上确实是量子化的:它们都是电子电荷e(或它的三分之一,e/3.如果一个包含夸克但它们不是作为单个粒子被观察到的)。因此,狄拉克发现,如果存在磁单极子,这可以解释,并且,也许是因为他早先成功预测了正电子,他得出的结论是,如果磁单极子不存在,那将是令人惊讶的。

尽管我们现在对基本粒子及其性质的理解比狄拉克时代要好得多,尽管还有其他方法可以尝试理解电荷的量子化,但它们似乎同时预测了磁单极子,所以看起来狄拉克的见解很可能是正确的。例如,弦理论家 Joseph Polchinski认为,任何解释电荷量子化的理论都将不可避免地预测磁单极子的存在。

虽然,正如狄拉克所表明的,磁单极子可以在量子理论中一致地​​描述,但与正电子不同,它们不会自动出现。恰恰相反,实际上很难将磁单极子添加到量子电动力学中,即麦克斯韦理论的量子版本。这可以理解为狄拉克量化论证的另一面:在量子电动力学中,电荷不是自然量化的,因此包括磁单极子必须显着改变理论结构以强制量化条件 (20)。

2.3. 't Hooft-Polyakov 单极子

到 1970 年代,物理学家已经从量子电动力学转向发展强弱核力的理论描述,最终成为我们当前的粒子物理学标准模型。指导原则是我们在麦克斯韦电动力学理论中遇到的规范对称概念,虽然涉及的规范变换更复杂,但这些理论的结构与麦克斯韦理论非常相似。

特别是,在将电磁力和弱核力统一为一个弱电力方面正在取得进展(见图 2)。实现这一点的理论 [23-25] 有两种不同的规范对称性,称为 U(1) 和 SU(2)。U(1) 规范对称性与麦克斯韦方程组的规范对称性结构相同,但 SU(2) 对称性稍微复杂一些。特别是,在 U(1) 中,进行两次规范变换的顺序无关紧要,但在 SU(2) 中却很重要。因此,前者称为阿贝尔对称,后者称为非阿贝尔对称。

图 2.基本力的统一。有强有力的实验证据表明,在能量高于 100 GeV 时,电磁力和弱核力由统一的电弱理论描述。这可能与强核力统一到 10 15 GeV以上的大统一理论 (GUT) 。最后,已知在普朗克标度以上的能量,10 19 GeV,引力变得如此强大,需要纳入理论,相信它将与所有基本粒子力统一为一个Theory of Everything,可能是超弦理论或M-theory [22]。

在低能量下,这种 SU(2) × U(1) 对称性被“破坏”,因为假设的希格斯场 ϕ [26-28] 在真空中具有非零值,其行为本质上类似于量子波函数遍布整个空间。就像波函数的复相位一样,希格斯场对对应于两个规范对称性的矢量势的值很敏感。虽然理论本身仍然具有规范对称性,但具有非零希格斯场的真空态不再对称,因此只允许某些规范变换。这些结果与麦克斯韦方程组的 U(1) 规范对称性完全对应,因此它们产生了电磁力。作为副产品,该理论预测了一些新粒子的存在,大质量的携带弱相互作用的W和Z玻色子于 1983 年被发现,以及欧洲核子研究中心的大型强子对撞机 (LHC) 目前正在努力寻找的希格斯玻色子。

1974 年,Gerard 't Hooft [8] 和 Alexander Polyakov [9] 考虑了该理论的一个稍微不同的变体,该变体早先由 Georgi 和 Glashow [29] 提出。值得注意的是,'t Hooft 和 Polyakov 发现这个理论必然包含电荷和磁荷。

Georgi-Glashow 模型比 SU(2) × U(1) 电弱理论要简单一些。它只有一个规范对称性,一种称为 SO(3) 的非阿贝尔对称性。希格斯场由三个实值分量 ϕ a 组成,其中a  ∈ {1.2.3}。因此,我们可以将其视为一个三分量向量 ϕ,尽管重要的是要记住它是抽象“内部”空间而不是真实空间中的向量。希格斯场携带势能,其密度取决于其值

其中 λ 和v是必须从实验中确定的参数。

因为电位V (ϕ) 仅取决于长度 |ϕ| 的希格斯场矢量,它在内部空间显然是球对称的。规范变换对应于旋转这个内部空间,规范对称意味着这种旋转不会改变物理定律。正如在电动力学中 [参见方程 (14)],这种旋转可能与位置有关,这需要一个三分量规范场Aa,它是电磁势的类似物。

在真空状态下,势能 (21) 被最小化,因此希格斯场向量的长度不为零,|φ| = ν。但是,它可以指向任何方向,因此存在可能存在真空状态的球体(见图 3)。与等式 (13) 类似,希格斯场和规范场通过协变导数的要求相关,定义为

必须消失, ( D ϕ) a  = 0 对于所有a。这里 ϵ abc是 Levi-Civita 张量,我们遵循重复索引b和c 的惯例总结了。一旦希格斯场的方向固定,则只允许绕该轴旋转,因此据说原始 SO(3) 对称性自发破缺。剩余的旋转对应于麦克斯韦方程组的 U(1) 规范变换 (11),因此它们会产生电磁。此外,要求带电粒子必须在整个三维内部空间的任何旋转下都表现一致,而不仅仅是围绕希格斯场矢量轴的旋转,这导致了电荷必须以单位量化的条件一些基本电荷q。

图 3.自发对称性破缺。电弱统一的 Georgi-Glashow 模型具有 SO(3) 规范对称性,对应于三维内部空间中的旋转。然而,希格斯场 ϕ 具有非零长度,因此其可能值位于内部空间中的球体上,对应于不同的可能真空状态。由于 SO(3) 对称性,所有真空状态都是相同的,但是一旦选择了真空状态,就只能绕希格斯场轴旋转。因此,完整的 SO(3) 对称性会自发地破坏为较小的 U(1) 对称性,从而产生电磁。

't Hooft 和 Polyakov 考虑了如果希格斯场的方向在任何地方都不相同会发生什么。在大多数情况下,该场会很快找到通往真空状态的道路。然而,他们发现这不会发生在所谓的刺猬配置中,人们可以通过想象内部空间中的方向与现实空间中的方向对应来形象化。刺猬配置将是希格斯场矢量在任何地方都指向远离原点的情况(见图 4)。我们可以将此字段配置写为

其中r a 是位置向量r 的分量a,并且r  = | r |。函数f ( r ) 通常必须用数值​​计算,它描述了希格斯场向量的长度,并且只是半径r的函数,因此该配置是球对称的。由方程 (22) 可知,距原点较远的规范场为

其中我和Ĵ对应于在实际空间中的方向和一个在该内部空间。该解决方案是拓扑缺陷或拓扑孤子 [30] 的一个例子:它是稳定的,因为它不可能连续变成均匀的真空状态。

图 4.刺猬配置。在't Hooft-Polyakov 单极子解中,希格斯场向量(用箭头表示)处处都指向远离原点的方向,其长度接近远离原点的真空值v。这种构型不能连续变为均匀真空状态,因此拓扑稳定。为了使场连续,原点处不能处于真空状态,因此在原点处存在局部能量块(即粒子)。

远离原点,希格斯场接近其真空长度,即f ( r ) → 1.其方向几乎一致。然而,为了连续,场必须在原点处变为零,f (0) = 0.并且它的方向必须围绕它快速变化,这意味着它将具有非零能量。因此,刺猬配置在物理上表现为位于原点附近的小体积中的能量块。因为根据相对论,质量就是能量,这意味着它本质上是一个有质量的粒子。此外,由于希格斯场在原点消失,粒子内部完整的 SO(3) 规范对称性是完整的。

然而,最引人注目的结果是粒子具有磁荷。因为电磁是由围绕希格斯场矢量旋转产生的,所以可以计算刺猬配置中的磁场。't Hooft 发现它是由表达式 [8] 给出的

在哪里

代入解(23)和(24),发现这正是带磁荷的单极子的磁场(8)

这是狄拉克量化条件 (20) 所允许的最小值的两倍。事实上,方程 (25) 具有一般拓扑性质,即在任何闭合曲面上积分时,它总是给出 4π/ q的整数倍。根据方程 (15),这样的积分等于表面内的磁荷,因此这意味着磁荷在任何场配置中都可以量化,而不仅仅是在 't Hooft-Polyakov 刺猬解中。

这些 't Hooft-Polyakov 单极子的质量大约为 100 GeV,由与弱核力相关的能级决定。然而,实验结果很快排除了 Georgi-Glashow 模型作为电弱统一理论的可能性,并且成功的 SU(2) × U(1) 理论不允许类似的磁单极子解。

然而,Georgi 和 Glashow 很快注意到他们的理论可以被修改以做一些更雄心勃勃的事情,即将电弱理论与强核力统一为一个大统一理论(GUT)[31],它将描述所有已知的基本粒子除重力外的力(见图 2)。他们仅使用一个称为 SU(5) 的非阿贝尔规范对称性和两个希格斯场就非常优雅地实现了这一点。在大约 10 15 GeV 的非常高的能量下,希格斯场之一会将 GUT 对称性分解为三部分,即电弱理论的 SU(2) 和 U(1) 对称性以及描述强电势理论的进一步 SU(3) 对称性核力,然后第二个希格斯粒子将扮演与电弱理论完全相同的角色。

因为 SU(5) GUT 的结构与 Georgi-Glashow 电弱理论非常相似,它也预测了 't Hooft-Polyakov 单极子,但它们的质量现在会高得多,大约 10 16GeV(或 10 ng SI 单位)。它们还有一个有趣的特性,即它们可以催化核子衰变 [32-34]。根据粒子物理学的标准模型,质子是稳定粒子,不会衰变。在大统一理论中,这不再正确,但质子仍然具有很长的寿命,因为衰变需要通过非常高的势垒的量子隧道过程。然而,正如我们之前看到的,完整的 SU(5) 对称性在单极子内部是不间断的,因此势垒消失了。这意味着当质子或中子与 GUT 单极子接触时,它们会衰减得非常快。

事实上,磁单极子的存在并不是 SU(5) GUT 特有的。相反,它是大统一的一个不可避免的结果:任何通过一个大统一相互作用来描述所有强和电弱力的理论都不会具有“Hooft-Polyakov 单极子”[35]。其原因在于一个称为拓扑学的数学分支,它研究一个函数是否可以连续变形为另一个函数。

证明 't Hooft-Polyakov 刺猬配置稳定的方法是考虑原点周围的球体。在 Georgi-Glashow 模型中,希格斯场是一个三分量向量,由于其长度是固定的,它的可能值集也可以在内部空间中形成一个球体。在hedgehog解中,实空间球体上的场值在内部空间球体上绕了一次,这不能连续变形为真空状态,场值不绕球体,这使得配置稳定。在拓扑学中,同伦理论精确地说明了何时存在这样的稳定​​配置,并且可以证明,只要规范对称性被希格斯场打破,U(1) 规范对称性仍然存在,就存在稳定的刺猬配置 [35. 36]。因为电磁需要 U(1) 规范对称,这意味着任何将电磁与其他力统一为一个规范对称的 GUT 将始终具有稳定的刺猬,即't Hooft-Polyakov 单极子。

这是一个了不起的发现,因为有(而且仍然)许多理论上的理由来期待大统一。首先,粒子物理标准模型具有相当复杂的结构,由三种不同的规范对称性和范围广泛的不同物质粒子组成,每个粒子都有自己的特性,这在大统一理论中得到了简单的解释。这三种相互作用的强度也使得它们在外推到 10 15 GeV能量时重合。然而,即使大统一作为一般概念是有效的,我们也不能确定 Georgi-Glashow SU(5) GUT 是正确的理论。因此,重要的是磁单极子的预测是通用的,而不是特定于这个特定理论的。

显然,用加速器实验来检验大统一理论几乎是不可能的,因为这需要大约 10 15 的能量GeV,比大型强子对撞机所能达到的水平高出一万亿倍。因此,令人兴奋的是,磁单极子可以提供一种潜在的方法来进行实验研究。大统一理论的另一个通用预测是质子可以衰变。这意味着以单个质子为核的氢原子的寿命应该是有限的。因为每个水分子都包含两个氢原子,所以人们应该能够通过观察足够大的水箱来检测到这一点。在某个时候,一个质子应该在罐中衰变,产生一个可以被检测到的微小闪光。然而,在这些实验中从未见过质子衰变。这排除了最初的 Georgi-Glashow SU(5) GUT,但还有其他 GUT 可以预测更长的质子寿命,因此仍然与实验兼容。

如今,高能物理学的重点已经从大统一理论转移到更加雄心勃勃的“万物理论”,例如超弦理论,其目的是也包括引力。这些理论的结构是不同的,因为所有四种力都以相同的能量统一,而且它们不是基于场,而是基于其他类型的物体,如弦或膜。因此,关于 't Hooft-Polyakov 单极子存在的论证不适用于相同的形式。然而,他们仍然普遍预测磁单极子的存在[11]。

3. 宇宙学中的单极子

如果物理基本定律允许存在磁单极粒子,那么它们很可能是在大爆炸或之后不久的早期宇宙中产生的 [10.37]。因此,对产生机制和早期宇宙有了足够的了解,我们应该能够计算出今天宇宙中应该有多少个单极子。然而,即使是非常简单的估计也表明预测值太高而无法与观察结果相兼容 [10]。这就是众所周知的单极问题。

为了看到这一点,让我们先看看在早期宇宙中单极子是如何产生的。其基本思想在 1976 年 Tom Kibble 发现后被称为Kibble 机制[36],虽然可以争辩说它严格来说并不适用于大统一理论 [38],但主要结论仍然有效 [39. 40]。

为简单起见,让我们考虑 SO(3) Georgi-Glashow 模型,其中希格斯场可以被认为是一个三分量向量。早期的宇宙非常热,如果足够热,GUT 对称性最初不会被破坏,希格斯场为零。当宇宙膨胀和冷却时,它经历了一个相变到宇宙非常年轻时规范对称性破缺的阶段,只有 10 -35  s。在这个相变中,希格斯场变成了非零,因为它是一个矢量,所以它必须有一个方向。为了最小化能量,方向必须在任何地方都相同。

然而,转变发生在有限的时间内。请记住,根据相对论,信息的传播速度不能超过光速。如果您考虑空间中的两个点相距很远,以至于在转换完成之前来自一个的信息无法到达另一个,那么这两个点必须彼此独立地选择希格斯场的方向。由于对称性,每个方向的可能性都相同。因此,在过渡之后,希格斯场在短尺度上将是均匀的,直到光在过渡期间能够传播的距离 ξ,但在较长距离上是随机且不相关的。粗略地说,我们可以想象宇宙由大小为 ξ 的域组成,在每个域中希格斯场的方向是均匀但随机的。在早期的宇宙中,当时的H。

另一方面,希格斯场必须是连续的,所以在两个域相遇的地方,它会在它们之间平滑地插值。但是,请考虑四个域之间的一个点。有可能,当场在每对之间进行插值时,它最终会环绕内部空间中的球体。在这种情况下,场不能在所有四个域之间连续插入而不在中间消失,从而形成单极子或反单极子(带负磁荷的单极子)(见图 5))。四个域中的方向发生这种情况的概率与它们的大小或任何其他参数无关,因此它只是一些原则上可以计算的常数,但显然不会小于 1.因此,人们得出结论,每个域或每个粒子层级会产生大约一个单极子或反单极子 [36]。因为在非常早期的宇宙中粒子视界非常短,当 GUT 相变发生时,这会导致单极子和反单极子的密度非常高。

图 5. Kibble 机制的二维示例。希格斯场在距离长于相关长度 ξ 处是随机的。因此,我们可以想象宇宙由大小为 ξ 的域组成,每个域都有一个随机但或多或少均匀的场方向(​​实线箭头)。该场在任何一对两个域之间连续插入(虚线箭头),但是在三个域相遇的地方,它可能无法做到这一点而不会在中间消失。在这种情况下,会形成拓扑缺陷(涡流)。类似地,在三个维度上,可以在四个域相遇的地方形成单极子。

然而,磁单极子最初只携带总能量的很小一部分,其中大部分以辐射的形式存在。由于单极子和反单极子的数量相同,它们最初会相遇并相互摧毁,从而降低了它们的数量密度。然而,过了一段时间,这些过程停止了,然后单极子的数量密度下降只是因为宇宙的膨胀。因此,当今宇宙中磁单极子的数量密度将与质子和中子的数量密度相当 [10.35]。问题是单极子的质量大约为 10 16 GeV,比质子或中子的质量高 16 个数量级。因此,很明显,该预测是无效的。

这个单极子问题的一种可能解决方案是磁单极子根本不存在。然而,在 1980 年,Alan Guth 以一种称为通货膨胀的理论的形式提出了另一种解释 [41]。根据这个理论,宇宙在其非常早期的阶段以加速的速度膨胀。如果这发生在 GUT 相变之后(或 Guth 最初认为的期间),它可能会将单极子密度稀释到可接受的水平。随着足够长的加速期,暴胀还将解决大爆炸宇宙学中的另外两个主要难题,即视界和平坦度问题。此外,更详细的计算表明,暴胀还解释了原始密度扰动的起源,原始密度扰动是形成星系和星系团等结构的初始种子。作为宇宙微波背景辐射中的温度波动,可以更直接地观察到相同的扰动。WMAP 卫星 [42] 和其他实验对这些温度波动的测量表明,它们与暴胀理论的预测惊人地吻合。

尽管它取得了巨大的成功,但通货膨胀与其说是一个具体的理论,不如说是一个普遍的想法。有大量理论模型可以产生足够的膨胀来解决单极子、视界和平坦度问题,并且可以产生与观测兼容的扰动。在大多数这些模型中,膨胀发生在远低于 GUT 标度的能量下。因此,如果完全形成单极子,这将在通货膨胀之前发生。然后,通货膨胀将通过将它们的数密度稀释到足够小的水平来解决单极子问题。

然而,在某些模型中,GUT 或中等质量单极子在膨胀结束时或之后不久的相变中形成 [40]。在这些情况下,了解单极子形成的精确机制以及它们之后的演化方式将非常重要。

4. 单极搜索

根据't Hooft 和Polyakov 的理论预测,已经有许多尝试在实验中检测磁单极子。它们分为三类:一种可以尝试在 LHC 等加速器实验中产生它们,一种可以尝试在宇宙射线中或被困在材料中找到现有的磁单极子,或者一种可以在天文观测中寻找磁单极子的间接迹象.

对于直接搜索,有三种主要方法:第一种是使用超导环。如果磁单极子穿过环,变化的磁场会感应出可以测量的电流。电流的变化也非常准确地给出了磁荷的强度。第二种方法依赖于磁单极子高度电离的事实:由于它们的强磁荷,穿过物质的磁单极子很容易从原子上剥离电子,在探测器板上留下清晰的轨迹。由于洛伦兹力 (7) 的形式,这种效应与速度有关,这使得人们可以将单极子与强电荷区分开来。第三种方法是寻找由穿过物质的单极子催化的核子衰变的迹象 [33.43]。

以下是不同实验搜索的简要总结。更多细节可以在 [12.13] 中找到。

4.1. 加速器搜索

原则上,如果碰撞能量足够高,高于2 Mc 2.在粒子加速器实验中应该产生磁单极子。对于 GUT 单极子,所需的能量至少比大型强子对撞机 (LHC) 的可用能量高出一万亿倍。因此,期望它们可以在任何可预见的粒子加速器中生产是不现实的。

然而,我们真的只知道直到电弱尺度的物理定律,大约在 100 GeV,因此完全有可能存在比 GUT 预测的轻得多的磁单极子。这些被称为中等质量的单极子,如果它们足够轻,它们很可能在 LHC 上产生,尽管它们的预测生产率存在巨大的理论不确定性 [44](更多讨论见第 5 节)。

寻找磁单极子与寻找大多数其他假设粒子非常不同。外来粒子通常很难被检测到,因为它们的寿命很短。粒子很快衰变成已知粒子,因此必须非常仔细地分析碰撞中产生的粒子,看看其中的一些是否可能是由假设的新粒子产生的。这是非常困难的,因为更有可能在其他过程中产生相同的已知颗粒。

相反,磁单极子是稳定的。单极子只有在遇到反单极子时才能被破坏。因此,一旦在实验中创建,单极子就不会衰减。由于其磁荷,单极子也会与电磁场发生相对强烈的相互作用。这种相互作用很容易理解,而且与任何已知的粒子也有很大不同,因此几乎没有混淆的风险。

由于这些差异,主要的 LHC 实验不太适合寻找磁单极子。相反,正在为此目的构建一个名为 MoEDAL [45] 的专用实验。与其他 LHC 实验相比,MoEDAL 非常简单:它由放置在 LHCb 实验周围的塑料核轨道探测器板组成。如果在碰撞中产生单极子,它们将飞过板材,在其上留下明显的标记,当移除和分析板材时可以检测到这些标记。过去,Tevatron、LEP 和 HERA 等其他加速器也以不同的方式寻找单极子,但没有成功。这不包括质量小于大约 1 TeV 的单极子 [46]。

原则上,量子场论也允许产生“虚拟”对或两个带相反电荷的单极子的可能性,并在很短的时间后相互摧毁。即使碰撞能量不足以产生两个真正的单极子,这个过程也是可能的。寻找虚拟单极子要困难得多,但已经有一些尝试 [47.48]

4.2. 直接搜索

除了尝试在实验中产生单极子之外,还可以尝试寻找宇宙中已经存在的单极子。因为单极子是稳定的,即使是在早期宇宙中产生的单极子也应该仍然存在。显然,找到它们的难易程度取决于它们的数量,或者更准确地说取决于它们的通量F。我们的意思是单位时间内每个立体角撞击单位面积的单极子数量。通量通常以cm -2 s -1 sr -1为单位测量,其中sr代表球面度并且是立体角的单位。整个球体的立体角是 4π 球面度。因此,撞击半径为R的球体的单极子数量在时间t等于 (4π 球面度) ×  FRt。这显然不仅取决于单极子的数量,还取决于它们的速度。

已经有许多尝试在宇宙射线中寻找磁单极子,宇宙射线是从太空撞击地球的粒子。通量越高,单极宇宙射线撞击探测器的频率就越高。一些早期的实验似乎为他们提供了有希望的证据。1973 年,宇宙射线气球实验显示粒子轨迹似乎与磁单极子一致 [50],但很快就接受了它更可能是铂原子核 [51]。在 1982 年的情人节,使用超导环的实验室实验显示电流突然跳跃,其量正好与穿过环的磁单极子产生的量相同 [52],并且在帝国理工学院的类似实验中还观察到了另一事件1985 年 [53]。然而,由于后来的实验无法重现它们,人们认为它们是由其他影响引起的。然而,他们激励物理学家设计更大的实验,这些实验能够对磁单极子的通量施加更强的限制。此外,这些实验还能够在宇宙射线中寻找其他类型的粒子,并为当前的暗物质搜索铺平了道路。

GUT 单极子的最强边界来自一个名为 MACRO(单极子、天体物理学和宇宙射线天文台)的地下实验,该实验位于意大利格兰萨索,并于 1989 年至 2000 年运行。它专门用于检测磁单极子,并包含不同类型使用电离和核子衰变方法的探测器,总有效表面积约为 10.000 m 2.它没有检测到任何单极子,由此可以得出结论,单极子通量不能高于大致F  ≲ 10 -16 cm -2 s -1 sr -1 [54] [见图 6(一个)]。AMANDA [55] 和 Baikal [56] 等其他几个实验后来也产生了类似的界限。对于较轻的中等质量单极子,南极的 RICE 实验(无线电冰切伦科夫实验)给出了更强的界限,大约F  ≲ 10 -16 cm -2 s -1 sr -1 [49] [见图 6 ( b)]。

图 6. ( a ) GUT 单极子(来自 [13])和 ( b ) 中等质量磁单极子(来自 [49])的通量上限,来自多个实验以及天体物理帕克界。在 ( a ) 中,x轴 β 是以光速为单位的单极子速度,β = υ/ c。经 D. Hogan、D. Besson、J. Ralston、I. Kravchenko 和 D. Seckel, Phys. 修订版 D 78. 075031 (2008)。版权所有 (2008) 美国物理学会。

因为地球已经被宇宙射线轰击了数十亿年,单极子很可能被困在地球上的物质中。已经尝试在月球岩石、陨石和海水等材料中找到磁单极子,但没有成功[57]。

4.3. 天体物理界限

如果存在磁单极子,它们会产生天体物理效应,我们希望在天文观测中发现。也许最显着的影响是磁场会加速它们,产生会从磁场中消耗能量的磁流。磁场能量降低的速率取决于单极通量。如果通量非常高,我们就不会期望在太空中发现任何大规模的磁场,因为它们会消散。然而,观测表明在我们的星系中存在大约 3μ G的磁场,由此我们可以得出结论,单极通量不可能很高。这被称为帕克界[58.59],这种效应的强度还取决于单极子的质量。如果它们很重,大约 10 17 GeV,它们的运动受重力而非磁场支配,因此束缚很弱(见图 6)。另一方面,对于较轻的单极子,人们发现了更强的界限

从宇宙中磁单极子的总质量可以得出一个更简单的界限。通过天文观测[42],我们知道物质粒子约占宇宙总能量的23%,其中大约三分之一可以由已知粒子来解释。原则上,部分或全部剩余暗物质可能是磁单极子。如果它们足够轻,小于 10 17 GeV,它们就不会被引力束缚在星系上,因此它们的密度或多或少是均匀的。从观察到的暗物质密度,可以得到一个上限

其中M是单极子的质量,v是它们的平均速度,c是光速。由于质量依赖,这个界限只与重单极子有关,例如 GUT 的,但对它们来说,它与其他界限相当。

5. 单极子与量子场论

尽管磁单极子从未被发现,因此我们不知道它们是否真的存在,但它们对理论物理学仍然非常有用。我们已经在第 3 节中看到它们是如何成为通货膨胀的动机的,这后来被其他观察结果所证实。它们在理解量子场论方面也发挥了同样重要的作用。

包括磁单极子的尝试迫使物理学家从新的角度看待量子场论并开发新的计算技术。早期的例子包括 Schwinger 在 1966 年提出的带磁荷的量子电动力学公式 [21],但随着 1974 年 't Hooft-Polyakov 单极子的理论发现,这个方向变得更加重要。量子场论的传统解释是粒子对应于场量子或量子化波,因此每个粒子种类将对应于一个特定的场。例如,光子是电磁场的量子。然而,'t Hooft-Polyakov 单极子是局部场配置,除了所有场量子之外,它出现在理论中。

在量子场论中描述诸如 't Hooft-Polyakov 单极子之类的孤子会带来新的挑战。量子场论中进行计算的传统方法,称为微扰理论,是为场量子设计的,不能用于研究拓扑孤子。此外,它假设量子彼此之间的相互作用很弱。例如,电子和光子之间相互作用的强度由电子电荷e 给出,或者更准确地说,由精细结构常数 α =  e 2 给出/4π≈1/137.这是一个很小的数字,因此相互作用很弱,微扰理论有效。问题是狄拉克量子化条件(20)告诉我们磁单极子的磁荷非常大。类似的磁性精细结构常数为 α M  =  g 2 /4π = 1/α ≈ 137.这是一个不小的数字。因此两个单极子之间的磁相互作用实际上很强,微扰理论一般不适用。

微扰理论的主要替代方法是进行数值晶格场理论模拟。这些模拟被广泛用于研究量子色动力学 (QCD),即强核力理论。顾名思义,这种相互作用也不弱。然而,由于磁单极子和其他孤子在性质上与 QCD 中涉及的粒子有很大不同,因此格子 QCD 中使用的技术并不总是直接适用。相反,人们需要开发新技术来计算磁单极子的特性,例如它们的质量和与其他粒子的相互作用。这一点特别重要,因为存在一些使用其他技术无法可靠计算的实验上重要的量,例如虚拟单极子-反单极子对的影响。最重要的是,半经典计算表明,粒子碰撞中磁单极子的对产生率受到一个巨大因素的抑制,这使得在 LHC 等加速器实验中几乎不可能找到它们 [44],并且检查这是否也是至关重要的在量子理论中是正确的。最近在开发这些方法方面取得了重大进展,它们已被用于计算磁单极子的质量和相互作用形状因子 [60-62]。图 7显示了在这种晶格场理论模拟中的 't Hooft-Polyakov 单极子的可视化。

图 7.晶格场论模拟中的 't Hooft-Polyakov 单极子配置。这个数字是使用 VAPOR [63.64] 产生的。

磁单极子或许也能帮助我们更好地理解 QCD 的物理原理。该理论根据两种类型的粒子进行定义:作为物质粒子的夸克和介导强力的胶子。然而,夸克和胶子都没有在实验中被视为自由粒子。相反,我们知道它们被限制在质子、中子和其他强子粒子中,它们都由几个夸克组成。如果我们试图将夸克分开,我们会感觉到一种恒定的力将它们保持在一起,就好像它们被一根绳子连接起来一样。这种现象称为限制,我们从晶格场理论模拟中知道 QCD 可以正确描述它,但没有严格的证明,因为我们没有任何可靠的方法来用该理论进行解析计算。

1976 年,Gerard 't Hooft [65] 和 Stanley Mandelstam [66] 提出限制可以用磁单极子来解释。首先请注意,在某些情况下(通常是低温),某些材料会变成超导材料。这意味着电流可以在没有任何阻力的情况下流动,而且磁场会被排斥。如果可以将磁单极子放入超导体中,其磁场将被限制在称为 Abrikosov 通量管的弦中。因此,单极子和反单极子将通过一根弦连接。

't Hooft 和 Mandelstam 意识到,就电磁二元性 (5) 而言,即当我们交换电场和磁场以及电荷时,限制看起来非常像它的双重版本。由于超导性是由带电粒子的行为引起的,因此可以通过磁单极子的行为来解释限制。这些单极子不是“真正的”GUT 单极子,而是 QCD 中的类似数学解决方案。在 QCD 中很难将这个想法精确化,但在一些更简单的理论中,人们已经能够严谨地证明它是正确的,并且限制确实是由磁单极子引起的 [67.68]。

特别是,克劳斯·蒙托宁 (Claus Montonen) 和大卫·奥利弗 (David Olive) 在 1977 年认为,电磁二元性 (5) 不仅在电动力学中有效,而且在 SO(3) Georgi-Glashow 模型中也应有效,其具有 't Hooft-Polyakov 单极子 [69] . 由于在量子场论中描述磁单极子存在问题,因此很难在量子理论中检验它们的猜想对偶性 [61]。然而,它已被证明在理论的超对称版本中是正确的 [68],其中计算更简单。这种 Montonen-Olive 对偶性对于许多计算非常有用,因为它将强磁耦合 α M 变成弱电耦合。因此,即使相互作用很强,也可以使用微扰理论进行计算。类似的对偶性在超弦理论 [70] 中也非常重要,它们可用于将理论的不同变体相互联系起来。这表明实际上只有一种基本理论,称为 M 理论 [22],不同的超弦理论只是描述同一物理的不同方式。

6.结论

磁性最基本的特性之一是没有磁荷或磁单极子。然而,正如我们所看到的,有强有力的理论理由期望它们应该存在。磁单极子被认为是“人们可以对尚未发现的物理学做出的最安全的赌注之一”[20]。理论家认为,它们太稀有以至于我们还没有探测到它们,而且太重以至于我们无法在粒子加速器中生产它们。然而,正如 Petrus Peregrinus 所写 [2],“经验而不是争论是科学确定性的基础”,因此搜索必须继续。磁单极子的发现不仅证实了我们走在正确的轨道上,而且还为我们提供了一种以极高能量探测物理学的独特方法,

尽管如此,即使没有这样的发现,几个世纪以来,磁单极子一直在推动我们对物理学的理解朝着越来越基本的水平发展,而这一进展在今天的量子场论中仍在继续,在量子场论中,单极子和电磁二元性使我们能够获得我们无法以其他方式研究和理解的现象。宇宙中没有磁单极子也导致了暴胀理论,这是现代宇宙学的基石。因此,无论是否存在,磁单极子在我们对宇宙的理解中都占有中心地位。